Торговая площадка Pribory-SI.ru 
МЕСТО ВСТРЕЧИ
ПРОДАВЦОВ и ПОКУПАТЕЛЕЙ
средств измерений


На сайте представлено:

Лента новостей

17.06.2021 6
Конференция "Законодательная метрология: текущее состояние и основные направления совершенствования нормативно-правового регулирования" пройдет с 29.06 по 01.07.2021

15.06.2021 6
Состоялось заседание Президиума Метрологической академии

03.06.2021 29
Практическое занятие «Формирование базы настроечных параметров, программирование и эксплуатация тепловычислителей серии ЛОГИКА. СПТ962»

31.05.2021 26
Смарт-часы помогут спрогнозировать результаты клинических анализов крови

24.05.2021 47
В США представлен микроскоп, способный видеть атомы с рекордным разрешением

20.05.2021 48
Накануне Всемирного дня метрологии состоялась конференция «Метрология на службе качества»

18.05.2021 78
В подмосковье пройдет конференция "Обеспечение единства измерений и развитие Индустрии 4.0 на предприятиях химико-технологического комплекса" с 31 мая по 4 июня



Компании на карте

Компании Перейти на карту

Публикации 13765

24.02.2011

Федеральное агентство РФ по техническому регулированию и метрологии

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКСПЕРТИЗЫ И ИСПЫТАНИЙ

Проректор по учебной и научной работе

Левин Сергей Федорович, доктор технических наук, профессор

ОБ ОСНОВАНИЯХ ТЕОРИИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ


В.А. Кузнецов (второй слева) среди участников Московского метрологического межкафедрального семинара МИЭИ (РОСТЕСТ–Москва, 2002 г.)За три последних десятилетия XX-го века число «видов измерений» резко возросло.

От так называемых прямых, косвенных, совокупных и совместных измерений до статистических, векторных и даже мягких. Об этом замечательный русский метролог В.А. Кузнецов сказал: «Мы перестали понимать, что такое измерение».

Известно, что абсолютно все измерения «прямые» [1], а большую долю этих «видов измерений» составляют вычисления.

П.В. Новицкий

П.В. Новицкий, С.-Петербург, 1997 г

Кроме того, «при установлении классификации видов измерений в качестве классификационного признака принята физическая величина», причем необходимо «не допускать возможности включения одной и той же измеряемой физической величины в различные виды измерений [2].

Компьютеризация метрологии привела к необходимости учета в результатах решения измерительных задач не только погрешностей измерений, но и погрешностей неадекватности математических моделей, о чем еще в 1980-е годы говорил другой замечательный русский метролог – П.В. Новицкий.

Другими словами, необходимость выделения из традиционной «теории измерений» специальной теории математических задач, решаемых путем измерений, или измерительных задач, назрела, но для этого не хватало ряда ключевых математических результатов.

Становление теории измерительных задач потребовало нескольких этапов.

В 70-е годы XX-го века по инициативе Ю.И. Алимова [3] и В.Н. Тутубалина [4] была начата всесоюзная дискуссия о границах применимости математической статистики, которую продолжили В.В. Налимов, П.Е. Эльясберг, А.Ф. Фомин, Ф.П. Тарасенко и другие [5–19]. За рубежом Ф. Мостеллер, Дж. Тьюки, П. Хьюбер, И. Вучков, Ф. Хампель и другие [20 – 23] обратили внимание на многочисленные нарушения предпосылок применимости теории вероятностей и регрессионного анализа, для которых, как справедливо заметил Ю.П. Адлер, развитие вычислительной техники стало путем «вверх по лестнице, ведущей вниз».

К началу 1990-х годов дискуссия сфокусировались на проблеме статистической идентификации погрешностей неадекватности математических моделей сложных технических объектов, систем их управления и обеспечения эксплуатации [24 – 27]. Причиной этому послужил катастрофический феномен 1985–1986 годов в авиационной, ракетно-космической и ядерно-энергетической технике [18]. Тогда впервые среди причин катастроф стали фигурировать погрешности измерений, математические модели, вероятностные расчеты и программные средства [27].

Поэтому первым практическим приложением теории измерительных задач оказались компьютерные системы прогнозирующего метрологического сопровождения на основе системы «ММК–СТАТ», позволившие решать задачи идентификации статических математических моделей объектов по критерию минимума погрешности неадекватности [17, 28 – 32].

2-й Всесоюзный научно-технический семинар «Статистическая идентификация, прогнозирование и контроль» (1991 г.) 2-й Всесоюзный научно-технический семинар «Статистическая идентификация, прогнозирование и контроль» (1991 г.)

2-й Всесоюзный научно-технический семинар «Статистическая идентификация, прогнозирование и контроль» (1991 г.)

А в конце 1990-х годов по заданию Госстандарта России в связи с необходимостью метрологической аттестации программного обеспечения стали разрабатываться нормативные документы по теории измерительных задач [33 – 34]. Появились системы метрологического сопровождения измерительных задач следующего поколения для решения задач многомерного регрессионного анализа «ММК–СТАТ М» [34, 35] и идентификации динамических моделей объектов в виде дифференциальных уравнений «ММК–ДИН» [32].

И уже на этапе испытаний «ММК–СТАТ М», как выяснилось спустя десять лет на XV Международной научной конференции «Физические интерпретации теории относительности» PIRT–2009, было сделано интересное открытие: по стандартным справочным данным для красного смещения в спектрах радиогалактик и квазаров как функции нескольких переменных обнаружена дипольная анизотропия [36 – 39]. Правда, авторы открытия тогда сочли эту анизотропию просто аналогией известной дипольной анизотропии красного смещения в спектрах галактик.

Конечно, отсутствие в традиционной теории измерений принципиальных различий между определениями терминов «измерение» и «измерительная задача» [1] стало одной из причин бесплодности дискуссий о «Руководстве по выражению неопределенности измерения» [40]. Но более существенной причиной бесплодности дискуссий оказалось игнорирование прямого указания в тексте «Руководства» на несовпадение определений терминов «доверительная вероятность» и «уровень доверия» с определениями одноименных терминов математической статистики. При этом «Руководство» не отрицало применения точечных оценок дисперсии в сфере государственного регулирования обеспечения единством измерений при учете известных коэффициентов, основанных на распределениях Стьюдента и χ2.

Однако «слово неопределенность означает сомнение и, таким образом, в своем самом широком смысле неопределенность измерения означает сомнение относительно достоверности результата измерения. Из-за отсутствия различных слов для этого общего понятия неопределенности и специальных величин, которые дают количественные меры этого понятия, как, например, стандартное отклонение, необходимо использовать слово неопределенность в этих двух различных смыслах» [40].

«Проблема количественных мер неопределенности» была закрыта на семинарах «Математическая, статистическая и компьютерная поддержка качества измерений» во ВНИИМ имени Д.И. Менделеева специалистами Физико-технического института Германии (В. Вёгер, Б. Зиберт, К. Зоммер), ВНИИМС (В.П. Кузнецов), Национальной физической лаборатории Великобритании (М. Кокс, П. Харрис) и МИЭИ [41]:

количественной мерой неопределенности в широком смысле является распределение вероятностей, а в узком смысле – параметр рассеяния этого распределения, объективно приписываемого искомой величине на основе располагаемых данных.

Международный научно-технический семинар «Математическая, статистическая и компьютерная поддержка качества измерений» ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 2002 г.

Международный научно-технический семинар «Математическая, статистическая и компьютерная поддержка качества измерений» ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 2002 г.

Собственно в этой «проблеме» нет ничего нового, т.к. согласно [42] «в качестве плотности распределения вероятностей погрешности принимают закон, близкий к нормальному усеченному, если имеются основания предполагать, что реальная плотность распределения – функция симметричная, одномодальная, отличная от нуля на конечном интервале значений аргумента, и другая информация о плотности распределения отсутствует. Если имеется информация о том, что хотя бы одно из указанных условий не выполнено, принимают другую аппроксимацию плотности распределения вероятностей, более соответствующую решаемой измерительной задаче. В качестве плотности распределения вероятностей составляющих погрешности измерений, для которых известны только пределы допускаемых значений, т.е. границы интервала, в пределах которых находится соответствующая составляющая погрешности измерений с вероятностью 1, при расчетах характеристик погрешности измерений принимают закон равномерной плотности, если отсутствует информация об ином виде распределения».

Московский метрологический межкафедральный семинар МИЭИ «Измерительные задачи физического эксперимента» в РОСТЕСТ–Москва. Первый слева – Н.Ф. Трубицын (2005 г.)
Московский метрологический межкафедральный семинар МИЭИ «Измерительные задачи физического эксперимента» в РОСТЕСТ–Москва. Первый слева – Н.Ф. Трубицын (2005 г.)

Важным результатом Московского метрологического межкафедрального семинара в теории измерительных задач стала разработка математического и программного обеспечения метода многократных измерений в виде рекомендаций по метрологии [43 – 44]. А специалисты ВНИИФТРИ отметили [45], что «формулы, рекомендуемые в МИ 1552–86 и МИ 2083–90 для вычисления доверительной границы погрешности результата измерения, являются неверными».

Метрологический семинар МИЭИ, в работе которого принимают участие специалисты ВНИИМС, МГТУ имени Н.Э. Баумана, МАИ имени Серго Орджоникидзе, ВВИА имени Н.Е. Жуковского, МИЭМ, СТАНКИН и кафедр метрологии других вузов Москвы, ориентирован на фундаментальные и прикладные проблем метрологии, которые решаются в тесном взаимодействии со специалистами РОСТЕСТ–Москва.

К их числу относятся: расчет характеристик погрешности средств измерений и достоверности результатов поверки, идентификация функций погрешности средств измерений при испытаниях в целях утверждения типа, метрологическая аттестация программного обеспечения, определение интервалов между периодическими поверками средств измерений по данным испытаний на безотказность и стабильность, идентификация метрологических характеристик функционального типа по данным поверки, в том числе построение и контроль градуировочных таблиц резервуаров, калибровка средств измерений и др. И, конечно же, разработка, экспертиза и метрологическая аттестация методик решения измерительных задач.

В лабораториях метрологического комплекса РОСТЕСТ–МоскваВ лабораториях метрологического комплекса РОСТЕСТ–Москва 

В лабораториях метрологического комплекса РОСТЕСТ–Москва

Показательными примерами решения таких проблем являются использование адаптивных систем «ММК–СТАТ М», «ММК–СТАТ» и «ММИ–поверка»

  • для повышения достоверности поверки счетчиков электрической энергии [46],
  • для расчета характеристик основной погрешности средств измерений и достоверности их поверки по данным протоколов [47],
  • для построения метрологических характеристик функционального типа не только для средств измерений [48],
  • для повышения эффективности испытаний средств измерений в целях утверждения типа практически во всех областях измерений [49],
  • для метрологической аттестации методик решения измерительных задач и их программного обеспечения [50 – 52],
  • для учета дополнительных погрешностей расходометрических установок [53, 54].

* * *

Прообразом теории измерительных задач стала фундаментальная монография Ю.В. Линника [55]. Однако в ней еще не было разделения погрешностей на погрешности средств измерений и погрешности математических моделей объектов измерений, отсутствовало определение погрешности математических моделей объектов измерений – погрешности неадекватности как метрологического термина, а измерительная задача ее идентификации сформулирована не была и не решалась.

Теория измерительных задач в рамках теоретической метрологии [34, 56 – 58] рассматривает математические модели физических объектов как зависимости между величинами, характеризующими их свойства. При этом каждую из величин представляют композицией наблюдаемой Ξ и ненаблюдаемой Ψ составляющих соответственно как стохастические по А.Н. Колмогорову [59] случайную и неопределенную величины. Составляющая Ξ может быть описана апостериорно статистической функцией распределения данных измерений или эквивалентной функцией распределения вероятностей. Составляющая Ψ – априорно функцией распределения вероятностей данных о погрешностях средств измерений и погрешностях неадекватности необходимых для ее идентификации математических оценок.

Измерительные задачи формулируют в терминах характеристик математических моделей объектов и решают путем вычислений по данным измерений и по результатам решения других измерительных задач. В зависимости от целей, наличия и достоверности априорной информации о переменных, параметрах, структуре и погрешностях неадекватности моделей объектов измерений, измерительные задачи идентификации моделей объектов измерений разделяют на задачи размерностной, параметрической, структурно-параметрической и полной идентификации.

В задачах размерностной идентификации искомыми являются переменные математических моделей – физические величины. Задачи этого типа разделяют по родам физических величин и решают методом прямого измерения, методом косвенного измерения и методом совокупных измерений [34].

В задачах параметрической идентификации искомыми являются параметры модели объекта измерений, которую представляют функциями, функционалами и операторами с известной структурой. При структурно-параметрической идентификации искомыми являются структура и параметры модели объекта измерений в классе, заданном моделью максимальной сложности в виде функции, функционала или оператора. В задачах полной идентификации априорная информация о переменных, структуре и параметрах модели отсутствует или является недостоверной.

Задачи этого типа решают методом совместных измерений.

В тех ситуациях, когда показания средств измерений от измерения к измерению изменяются случайным образом, перечисленные методы решения измерительных задач сочетают с методом многократных измерений, предполагающим структурно-параметрическую идентификацию ФРВ величин по СФР данных их измерений [43].

Вместе с тем выделение теории измерительных задач из традиционной теории измерений связано с установлением ряда математических фактов, позволивших получить ряд качественно новых результатов в метрологии.

Геометрический смысл вероятности согласия


Аксиома о вероятности согласия (рис. 1) [14]. Для неопределенных величин Ψ1 и Ψ2 с плотностями распределений вероятностей

Аксиома о вероятности согласияи Аксиома о вероятности согласиявероятность согласия есть площадь их пересечения:

Аксиома о вероятности согласия

Лемма о расстоянии Колмогорова (рис. 2) [14]. Если неопределенные величины Ψ1 и Ψ2таковы, что в единственной точке  ψ0 их плотности распределений вероятностей Лемма о расстоянии Колмогорова =Лемма о расстоянии Колмогорова , то вероятность согласия

Лемма о расстоянии Колмогорова (2)

где Лемма о расстоянии Колмогорова расстояние Колмогорова между ФРВ Лемма о расстоянии Колмогорова и Лемма о расстоянии Колмогорова .

Связь вероятности согласия с расстоянием Колмогорова

Рис. 2 – Связь вероятности согласия Вероятность согласия с расстоянием Колмогорова D*

Теорема о вероятности согласия [34]. Для неопределенных величин Ψ1 и Ψ1 с функциями распределений вероятностей Теорема о вероятности согласия и Теорема о вероятности согласия вероятность согласия

Теорема о вероятности согласия , (3)

где  Теорема о вероятности согласия r-й максимум функции погрешностиТеорема о вероятности согласия (рис. 1б).

Теорема о æ-критерии [43, 56]. Для неопределенной величины Ψ с функцией распределения вероятностей F*(ξ) и случайной величины Ξ со статистической функцией распределения F(N)(ξ) оценка вероятности согласия

Теорема о вероятности согласия , (4)

где Теорема о æ-критерии , Теорема о æ-критерии , – абсцисса r-ого максимума Теорема о æ-критерии ,

Теорема о æ-критерии , Теорема о æ-критерии и Теорема о æ-критерии .

Статистика æ-критерия обращается в нуль только в том случае, если ФРВ проходит точно через середины «ступенек» СФР. Метод параметрической идентификации на основе æ-критерия представляет собой метод максимума согласия (ММС), вычислительная схема которого аналогична общей вычислительной схеме метода максимального правдоподобия (ММП). В упрощенном виде она сводится к методу минимума расстояния Колмогорова (МРК) с оцениванием параметров ФРВ согласно ММП или методу квантилей (МК).

Статистики критериев неколмогоровского типа получают нелинейными преобразованиями функции погрешности D(ψ), что искажает вероятностную меру. Поэтому æ-критерий, выраженный через максимумы функции D(ψ), оперирует не условными вероятностями ошибок проверки гипотез, а непосредственно оценкой вероятности согласия ФРВ и СФР данных многократных измерений.

Теорема о свертке [43]. Плотность распределения вероятностей суммы независимых неопределенных величин Ψ1 и Ψ2 в случае Теорема о свертке и Теорема о свертке

Теорема о свертке . (5)

Следствие. Если Теорема о свертке и Теорема о свертке , то плотность распределения (5) образует семейство центральных распределений Леви

Теорема о свертке . (6)

Выражение (5) образует семейство нецентральных распределений П. Леви и позволяет представлять в аналитическом виде результаты решения измерительных задач с учетом условий наблюдаемости составляющих искомых величин как неопределенных величин при ФРВ, имеющих выражение в явном виде.

Теорема о медиане [14, 34]. Если функция распределения вероятностей Теорема о медиане стохастической неопределенной величины Теорема о медиане такова, что

Теорема о медиане ,

то для константы Теорема о медиане справедливо тождество

Теорема о медиане . (7)

Следствие. Тождество (7) минимизируется медианой, так как

Теорема о медиане и Теорема о медиане .

Теорема о модульном критерии [43, 56]. Среднее абсолютное отклонение статистической функции распределения от функции распределения вероятностей в точках роста

Теорема о модульном критерии . (8)

Другими словами, оценки (4), (7) и (8) в методе наименьших модулей (МНМ) непосредственно связаны с функцией погрешности ФРВ Теорема о модульном критерии .

Теорема о перекрестной вероятности согласия [43]. Для непрерывной функции распределения вероятностей и статистической функции распределения в схеме перекрестного наблюдения оценка вероятности согласия

Теорема о перекрестной вероятности согласия , (9)

где Теорема о перекрестной вероятности согласия – оценки параметров ФРВ по m-ой пробной части, Теорема о перекрестной вероятности согласия – ранги контрольного окна с индикаторной функцией Теорема о перекрестной вероятности согласия .

Перекрестная оценка вероятности согласия (9) учитывает погрешности неадекватности структуры ФРВ как характеристика положения СФР [34].

Теорема о перекрестном модульном критерии. Средний модуль погрешности неадекватности для функции распределения вероятностей

Теорема о перекрестном модульном критерии. (10)

Таким образом, понятие эквивалентности связывает параметрическую (4) и перекрестную (9) оценки вероятности согласия, расстояние Колмогорова D*, среднее абсолютное отклонение d* случайной составляющей погрешности неадекватности ФРВ (8) и средний модуль погрешности неадекватности ФРВ (10). Эти критерии эквивалентности были использованы в алгоритмах структурно-параметрической идентификации метода максимума компактности (ММК): ММКММС [43], ММКМНК, ММКМНМ и ММКМЕДС [34].

Погрешности неадекватности ФРВ с М параметрами определяют в схеме перекрестного наблюдения погрешностей неадекватности (перекрестного экзамена, «складного ножа», cross validation scheme) по СФР, интервал определения которой делится на (М+1) частей, каждая из которых последовательно используется в качестве контрольной для определения погрешностей экстраполяции модели ФРВ, построенной по остальной части данных [34].

Результаты размерностной идентификации представляют собой неопределенные величины – свертки ФРВ наблюдаемых и ненаблюдаемых составляющих. Наблюдаемую составляющую формируют как ФРВ с параметрами положения θ1 и рассеяния и θ2, соответствующую СФР показаний средства измерений или данных их вычислительных преобразований. Ненаблюдаемая составляющая характеризует неисключенные систематические погрешности (НСП) измерений и оценивания параметров ФРВ случайной составляющей. Для нее при отсутствии достоверной априорной информации в качестве наиболее тяжелого случая принимают равномерное распределение с параметром рассеяния θ0, а результат идентификации представляют толерантными Теорема о перекрестном модульном критерии-границами ΔPγ, которые для симметричных распределений при заданной поверочной схемой доверительной вероятности Р находят по уравнению

Теорема о перекрестном модульном критерии, (8)

где θ2B(P) – верхняя доверительная граница параметра θ2, ν = N – 1.

Таблица 1 – СФР данных измерений сопротивления контрольной меры

ОМЭС № 02293 Rопорное = 100,00008 Ом

СФР данных измерений сопротивления контрольной меры

СФР данных измерений сопротивления контрольной меры

СФР данных измерений сопротивления контрольной меры

СФР данных измерений сопротивления контрольной меры

СФР данных измерений сопротивления контрольной меры

1

100,00003

1

0

0,1

2

100,00004

3

0,1

0,4

3

100,00005

2

0,4

0,6

4

100,00006

1

0,6

0,7

5

100,00009

3

0,7

1

Пример 1. Данные Таблицы 1 получены в лаборатории поверки и испытаний средств измерений электрических и магнитных величин РОСТЕСТ–Москва (руководитель – Е.В. Котельников) при сличениях исходных эталонов региональных поверочных схем. В Таблице 2 приведены оценки параметров ФРВ Гаусса, Лапласа и Коши методом максимального правдоподобия (ММП), ММС, МНМ и ММКМНМ.

Отметим, что по сравнению с ММП применение алгоритмов ММС и МНМ наиболее существенно корректирует значение параметра рассеяния ФРВ.

Таблица 2 – Параметрическая идентификация ФРВ

Параметры

GММП

GММС

GММС*

GМНМ

GМНМ*

LММП

LММС

LММС*

θ*1– 100, Ом

0,000058

0,0000597

0,000059711

0,0000537

0,00005432

0,00005

0,00005

0,00005

θ*210-5, Ом

2,2271

2,9226

2,9224

2,4839

1,8254

1,8

2,8037

2,8036

D*

0,24028

0,23002

0,23017

0,22805

0,27581

0,24582

0,25

0,25000

æ*

0,36972

0,59996

0,6

0,44444

0,39023

0,53461

0,64010

0,64009

d*

0,12177

0,13614

0,13618

0,11400

0,1

0,11554

0,12900

0,12900

Параметры

KММП

KММС

KММC*

КМНМ

КМНМ*

LМНМ

LМНМ*

θ*1– 100, Ом

0,0000466

0,00005

0,00005

0,00005

0,00005309

0,00005

0,00005321

θ*210-5, Ом

1,1336

1,9626

1,9683

1,3764

0,9524

1,4427

1,4426

D*

0,23147

0,25

0,25037

0,20000

0,21961

0,26875

0,26094

æ*

0,31607

0,69039

0,68963

0,61098

0,36172

0,56250

0,30310

d*

0,13344

0,12940

0,12950

0,11837

0,10490

0,11500

0,1

* – Звездочкой отмечены интерактивные алгоритмы идентификации с графической поддержкой.

На рис. 3 для «гипотезы нормальности» показаны оценки ММП, ММС и МНМ. Оценка ММП уступает по точности аппроксимации СФР оценкам ММС и МНМ соответственно по критериям максимума (4) и минимума (8).

Параметрическая идентификация ФРВ Гаусса

Рис. 3 – Параметрическая идентификация ФРВ Гаусса

Итак, наименьший модуль погрешности аппроксимации имеет место сразу для двух распределений – Гаусса и Лапласа, тогда как наибольшей вероятности согласия соответствует распределение Коши, т.е. параметрическая идентификация не дает однозначного ответа о предпочтительности какой-либо из рассмотренных ФРВ. И, хотя эквивалентность в смысле критерия максимума вероятности согласия имеет строгую вероятностную интерпретацию, за пределами «ступенек» СФР этот критерий теряет чувствительность к характеру изменения данных измерений. Поэтому рассмотрим применение критериев (4) и (8) при перекрестной (ММК) идентификации. При этом заметим, что ГОСТ 8.028 для средств измерений электрического сопротивления установлена доверительная вероятность 0,99.

Алгоритм ММКМНМ для 2-параметрических моделей ФРВ приводит к схеме перекрестного наблюдения погрешности неадекватности с 3 блоками данных (Таблица 3): значения СФР рангов 1-2, 3 и 4-5. Перекрестные оценки расстояния Колмогорова и статистик критериев (9)-(10) приведены в Таблице 4.

Таблица 3 – Данные ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Данные ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Данные ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Данные ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Данные ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Данные ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Данные ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Данные ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Данные ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Данные ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Данные ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

1

100,00003

1

0

0,1

100,00004459

4,4683

100,00005232

1,9683

100,0000519

1,5397

2

100,00004

3

0,1

0,4

3

100,00005

2

0,4

0,6

100,00005531

1,2683

100,00005448

1,5079

100,0000563

0,698417

4

100,00006

1

0,6

0,7

100,00005

0,92857

100,00005313

1,7143

100,000052143

0,71429

5

100,00009

3

0,7

1

Таблица 4 – Результаты ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Структура ФРВ

Оценки параметров ФРВ

Перекрестные оценки статистик критериев

θ*1, Ом

θ*2, Ом

Результаты ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Результаты ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

Результаты ММКМНМ–идентификации ФРВ Лапласа, Гаусса и Коши

LММКМНМ*

100,00005321

1,4426·10–5

0,36144

0,01346

0,20280

GММКМНМ*

100,00005432

1,8254·10–5

0,28432

0,38672

0,10918

КММКМНМ*

100,00005309

9,5238·10–6

0,33485

0,33774

0,15900

Видно (рис. 4 и 5), что схема перекрестного наблюдения позволяет однозначно выделить наиболее правдоподобное распределение по обоим критериям. На рис. 5 область, ограниченная компонентами функционала погрешности неадекватности 1-3, расширяется на «хвостах» ФРВ, что иллюстрирует важность æ-критерия в корректном решении одноименной проблемы.

Таким образом, если в качестве основного использовать критерий минимума среднего абсолютного отклонения ФРВ от СФР, а в качестве дополнительного, в случае равенства статистик основного, – максимум вероятности согласия, то этот результат можно получить уже на этапе параметрической идентификации. Однако при этом не будут оценены НСП неадекватности ФРВ.

ММКМНМ–идентификация ФРВ Гаусса

Рис. 4. ММКМНМ–идентификация ФРВ Гаусса


ММКММС–идентификация ФРВ Коши

Рис. 5. ММКММС–идентификация ФРВ Коши

Совокупность экстраполяций 1, 2 и 3 ФРВ (рис. 5) образует функционал F×K(ξ) [2], с помощью которого определяют погрешности неадекватности ФРВ как характеристики положения модели и нижнюю границу для вероятности согласия æKмин = 0,3603789936 ≈ 0,36.

Следует обратить внимание на то, что на рис. 5 область неопределенности ФРВ, ограниченная компонентами функционала F×K(ξ), расширяется на «хвостах» распределения. Это обстоятельство иллюстрирует важность корректного решения одноименной проблемы.

Если принять в качестве предела допускаемых значений погрешности измерений 0,0001 Ом (т.е. ψН = 99,99993, ψВ = 100,00019), то результат определения сопротивления контрольной меры будет представлять собой неопределенную величину с плотностью распределения вероятностей

Результат определения сопротивления контрольной меры будет представлять собой неопределенную величину с плотностью распределения вероятностей ,

которой согласно (8) соответствует (0,95;0,99)-толерантный интервал [99,9993953…100,0007247] Ом, содержащий принятое для контрольной меры опорное значение.

Учтем НСП идентификации ФРВ, приняв в качестве оценки параметра рассеяния и предела допускаемых значений погрешности оценивания параметра положения ФРВ соответственно верхнюю границу (0,991/2 < 0,995) и половину ширины α = (1 – 0,995)/2 = 0,0025 для 99,5%-го доверительного интервала. При этом рассеяние оценок ММС и МНМ охарактеризуем соответствующими оценками для ММП как завышенными (для интервальных оценок параметров положения и рассеяния примем коэффициенты Стьюдента t0,0025; 9 = 3,6897 и верхней границы ZB(0,9975; 9) = 2,49 [43]). Для параметра положения ФРВ Гаусса воспользуемся известной оценкой

Для параметра положения ФРВ Гаусса воспользуемся известной оценкой Ом,

а для параметров положения ФРВ Лапласа и Коши – оценкой Шеффе–Тьюки [60]

для параметров положения ФРВ Лапласа и Коши – оценкой Шеффе–Тьюки , для параметров положения ФРВ Лапласа и Коши – оценкой Шеффе–Тьюки ,

что при k = 1, l= 10, α = 0,0025 и ZB(0,9975; 9) < 2,81 дает 5±0,5·101/2·2,81 = 5±4,443. Отсюда следует ξ(1) = 100,00003 Ом и ξ(10) = 100,00009 Ом, т.е. погрешность параметрической идентификации с вероятностью не менее 0,99 не выходит за пределы ±0,00003 Ом.

Параметры свертки (6): Параметры свертки , Параметры свертки и Параметры свертки , где Параметры свертки – СКО оценки параметра положения.

Если принять в качестве предела допускаемых значений погрешности измерений 0,0001 Ом, то результат определения сопротивления контрольной меры будет представлен неопределенной величиной с ПРВ вида (6), характеристики которых даны в Таблице 5.

Таблица 5 – Результат решения задачи параметрической идентификации ФРВ

Структура ФРВ

Оценки параметров свертки

Толерантный (0,99/0,99)-интервал,

Ом

Результат решения задачи параметрической идентификации ФРВ

Результат решения задачи параметрической идентификации ФРВ

Результат решения задачи параметрической идентификации ФРВ

LММКМНМ*

1,3

100,00005321

3,7864⋅10–5

100,00005321±0,00023138

GММКМНМ*

1,2130

100,00005432

4,7911⋅10–5

100,00005432±0,00019622

КММКМНМ*

1,3

100,00005309

9,5238⋅10–6

100,00005309±0,00066597

В Таблице 6 в полученных результатах учтены в виде интервалов неопределенности по данным Таблицы 4 погрешности неадекватности ФРВ. Для толерантного интервала наиболее правдоподобного решения задачи в виде свертки распределений равномерного и Гаусса они являются пренебрежимо малыми. Однако для аналогичной свертки распределений равномерного и Коши приращение интервала составило 50%, а сам интервал оказался в 5 раз шире. Поэтому судить о возможности пренебрежения погрешностями неадекватности ФРВ следует в каждом конкретном случае, исходя из целей задачи.

Таблица 6 – Результат решения задачи структурно-параметрической идентификации ФРВ

Структура ФРВ

Оценки параметров свертки

Толерантный (0,99/0,99)-интервал

Результат решения задачи структурно-параметрической идентификации ФРВ

Результат решения задачи структурно-параметрической идентификации ФРВ

Результат решения задачи структурно-параметрической идентификации ФРВ

LММКМНМ*

1,40731

100,00005321

4,4683⋅10–5

100,00005321±0,00026485

GММКМНМ*

1,2162

100,00005432

4,7911⋅10–5

100,00005432±0,00019649

КММКМНМ*

1,3321

100,00005309

1,5397⋅10–5

100,00005309±0,00098700

На рисунке 6 представлено наиболее правдоподобное из числа рассмотренных решение задачи структурно-параметрической идентификации ПРВ возможных значений электрического сопротивления контрольной меры (кривая 1)

Распределение вероятностей возможных значений электрического сопротивления контрольной меры относительно опорного значения по данным измерений при сличении

и (0,99;0,99)-толерантный интервал [99,99985781…100,00025079] Ом, заведомо содержащий принятое для контрольной меры опорное значение. Для сравнения кривая 2 иллюстрирует оценку ПРВ согласно ГОСТ 8.207-76, которой соответствует толерантный интервал, меньший на 23 %.

Распределение вероятностей возможных значений электрического сопротивления контрольной меры относительно опорного значения по данным измерений при сличении

Рис. 6 – Распределение вероятностей возможных значений электрического сопротивления контрольной меры относительно опорного значения по данным измерений при сличении

В целом же ММС и МНМ обеспечивают более точное согласие ФРВ с конкретной СФР, чем оценки ММП, особенно в случае неверной гипотезы. Так, для ФРВ Гаусса при N=10 оценка вероятности согласия возросла с 0,37 до 0,60, а среднее абсолютное отклонение уменьшилось с 0,12 до 0,10 Ом (Таблица 2). Эти различия приводят к погрешностям оценивания толерантных интервалов даже для «гипотезы нормальности» с недостатком порядка 20%, не говоря уже о пресловутом «корне из N» и подмене параметра рассеяния распределения параметром рассеяния оценки.

Таблица 7 – Параметрическая идентификация ФРВ

Оценки параметров

Структура ФРВ и метод параметрической идентификации

LММП

GММП

GMMC

КMMC

θ*1, Ом

0,954150

0,936909

0,936909

0,949493

θ*2, Ом

0,400785

0,518260

0,518770

0,338002

D*

0,06319

0,05523

0,05533

0,08997

æ*

0,05589

0,16076

0,16168

0,16825

d*

0,02017

0,01421

0,01427

0,02611

Параметры

Структура ФРВ и метод параметрической идентификации

LМНМ

GМНМ

КMK

КMНM

θ*1, Ом

0,951250

0,9492180

0,954150

0,949781

θ*2, Ом

0,454595

0,4906520

0,341825

0,311946

D*

0,053170

0,03390

0,09203

0,08211

æ*

0,12923

0,13555

0,09824

0,07119

d*

0,01471

0,01167

0,02701

0,02416

Пример 2.В Таблице 7 приведены оценки параметров различных ФРВ различными методами параметрической идентификации для данных моделирования псевдослучайной величины из примера 4 (N=100) Рекомендаций [61], иллюстрирующего проверку согласия ФРВ Гаусса и СФР.

Рассмотренные примеры подтверждают повышение воспроизводимости оценок ФРВ при переходе от ММП к МНМ за счет параметра рассеяния. При этом увеличение объема выборки от 10 до 100 не связано с увеличением вероятности согласия, что не противоречит утверждению [23] о монотонном росте риска отклонения структурных (непараметрических) гипотез при увеличении объема выборки.

Резюме

1. Комплекс теорем о критериях воспроизводимости оценок, лежащих в основании теории измерительных задач, позволяет получать оценки распределений вероятностей с предельно возможной точностью в классе рассматриваемых гипотез. При этом погрешность аппроксимации стремится к нулю только в тогда, когда статистическое распределение соответствует распределению вероятностей.

2. Представление решений измерительных задач идентификации в виде распределений вероятностей суммы наблюдаемых и ненаблюдаемых составляющих физических или расчетных величин обеспечивает полное выражение неопределенности получаемых результатов в широком смысле функциями распределений вероятностей.

3. Для распределений вероятностей с равным числом параметров алгоритмы структурно-параметрической идентификации при любых критериях согласия могут быть сведены к упрощенной схеме параметрической идентификации.

Литература

1. МИ 2222–92 ГСИ. Виды измерений. Классификация.

2. РМГ 29–99 ГСИ. Метрология. Основные термины и определения.

3. Алимов Ю.И. О логическом построении основ математической статистики как прикладной дисциплины. – Автоматика. – 1971. – № 3. – С. 88-91.

4. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. Краткий курс и научно-методические замечания. – М.: МГУ, 1972. – 230 с.

5. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. – Томск: ТГУ, 1976. – 294 с.

6. Алимов Ю.И. Элементы теории эксперимента. Опытная проверка утверждений математической статистики. – Свердловск: Изд-во УПИ, 1978. – 92 с.

7. Левин С.Ф. Комбинированный метод статистического моделирования. – М.: АН СССР, НСК, 1978. – 75 с.

8. Налимов В.В. Язык вероятностных представлений. – Автоматика. – 1979. – № 1. – С. 66-74.

9. Алимов Ю.И. Альтернатива методу математической статистики. – М.: Знание, 1980. – 64 с.

10. Левин С.Ф. Оптимальная интерполяционная фильтрация статистических характеристик случайных функций в детерминированной версии метода Монте–Карло и закон красного смещения. – М.: АН СССР, НСК, 1980. – 56 с.

11. Вопросы кибернетики, ВК-94: Статистические методы в теории обеспечения эксплуатации. Под ред. С.Ф. Левина. – М.: АН СССР, Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика», 1982. – 152 с.

12. Холлендер М., Вулф Д.А. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983. – 520 с.

13. Эльясберг П.Е. Измерительная информация: сколько ее нужно? Как ее обрабатывать? – М.: Наука, 1983. – 400 с.

14. Левин С.Ф. Основы теории контроля. – МО СССР, 1983. – 51 с.

15. Ивахненко А.Г., Степашко В.С. Помехоустойчивость моделирования. – К.: Наукова думка, 1985. – 214 с.

16. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. – Л.: Энергоатомиздат, 1985. – 248 с.

17. Фомин А.Ф., Горошавин А.И., Шелухин О.И. Аналоговые и цифровые синхронно-фазовые измерители и демодуляторы. – М.: Радио и связь, 1987. – 248 с.

18. Левин С.Ф., Блинов А.П. Научно-методическое обеспечение гарантированности решения метрологических задач вероятностно-статистическими методами. – Измерительная техника. – 1988. – № 12. – С. 5-8.

19. Левин С.Ф. Гарантированность программ обеспечения эксплуатации техники. – К.: Знание, 1989. – 24 с.

20. Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. – М.: Финансы и статистика, 1982. – Вып. 1, 317 с.; Вып. 2, 239 с.

21. Вучков И., Бояджиева Л., Солаков Е. Прикладной линейный регрессионный анализ. – М.: Финансы и статистика, 1987. – 239 с.

22. Хьюбер П. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984. – 304 с.

23. Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в статистике: Подход на основе функций влияния. – М.: Мир, 1989. – 512 с.

24. Левин С.Ф. Воспроизводимость или робастность в статистике? Подход на основе интерполяционной концепции вероятности в приближении аксиоматикой А.Н. Колмогорова. – Статистическая идентификация, прогнозирование и контроль. Методические рекомендации. – МО СССР, 1990. – С. 3-11.

25. Статистическая идентификация, прогнозирование и контроль. Тезисы докладов научно-технического семинара. – Севастополь: Знание, 1991. – 78 с.

26. Левин С.Ф. Контроль технических объектов по аварийным и определяющим параметрам. – К.: Знание, 1992. – 24 с.

27. Левин С.Ф. Погрешности измерений и вычислений как причина «катастрофического феномена 1985–1986 годов» в авиационной и ракетно-космической технике. – Контрольно-измерительные приборы и системы. ­– 2000. – № 3. – С. 21-25.

28. Левин С.Ф., Баранов А.Н., Веретенин Д.А., Халед Х.М. Оценивание характеристик достоверности прогнозирующего контроля в автоматизированных системах метрологического сопровождения. – Измерительная техника. – 1991. – № 12. – С. 18-20.

29. Левин С.Ф., Маркова Е.В. Планирование испытаний при метрологическом аттестовании программного обеспечения статистической обработки данных. – Измерительная техника. – 1995. – № 6. – С. 9-13.

30. Пособило В.А. Применение метода максимума компактности для прогнозирования изменения метрологических характеристик эталонов. – Измерительная техника. – 1995. – № 6. – С. 13-14.

31. Левин С.Ф. Метод максимума компактности и комплексные измерительные задачи. – Измерительная техника. – 1995. – № 7. – С. 15-21.

32. Левин С.Ф., Маркова Е.В., Пособило В.А. Системы метрологического сопровождения измерительных задач. – Контрольно-измерительные приборы и системы. – 1997. – № 4. – С. 13-14.

33. РРТ 507-98 ГСИ. Задачи измерительные. Методы решения. Термины и определения. – М.: Госстандарт РФ, РОСТЕСТ – Москва, 1998.

34. Р 50.2.004-2000 ГСИ. Определение характеристик математических моделей зависимостей между физическими величинами при решении измерительных задач. Основные положения.

35. Левин С.Ф., Лисенков А.Н., Сенько О.В., Харатьян Е.И. Система метрологического сопровождения статических измерительных задач «ММК–СТАТ М». Руководство пользователя. – М.: РОСТЕСТ–Москва Госстандарта России, ВЦ РАН, 1998.

36. Левин С.Ф. Метрологическая аттестация математических моделей в измерительных задачах гравитации и космологии. – Теоретические и экспериментальные проблемы общей теории относительности и гравитации. X Российская гравитационная конференция. – М.: РГО, 1999. – С. 245.

37. Levin S.F. On spatial anisotropy of red shift in spectrums of extra galaxy sources. – Physical Interpretations of Relativity Theory. Proceedings of XV International Scientific Meeting PIRT–2009. – Moscow: BMSTU, 2009. – P. 234-240.

38. Левин С.Ф. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ: ПРИЛОЖЕНИЯ. Измерительная задача идентификации крупномасштабной анизотропии красного смещения в спектрах излучения внегалактических источников. – Контрольно-измерительные приборы и системы. ­– 2009, № 6, с. 35-36; 2010, № 1, с. 36-37; 2010, № 2, с. 35-37.

39. Левин С.Ф. Измерительная задача идентификации красного смещения. – Метрология. – 2010. – № 5. – С. 3-21.

40. Руководство по выражению неопределенности измерения. Пер. с англ. Научный редактор проф. Слаев В.А. – СПб: ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 1999. – 135 с.

41. Левин С.Ф. Неопределенность в узком и широком смысле результатов поверки средств измерений. – Измерительная техника. – 2007. – № 9. – С. 15-20.

42. МИ 1317–2004. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров.

43. МИ 2916–2005 ГСИ. Идентификация распределений вероятностей при решении измерительных задач.

44. Гогин С.С. Программа «ММИ–поверка». – Измерительная техника. – 2006. – № 7. – С. 20-21.

45. Тищенко В.А., Токатлы В.И., Лукьянов В.И. Комментарии к метрологическим документам, регламентирующим обработку результатов измерений. – Законодательная и прикладная метрология. – № 4. – 2006. – С. 7-12.

46. Левин С.Ф., Котельников Е.В., Чиркова Е.А., Лебедева И.В. Обеспечение единства измерений при поверке счетчиков электрической энергии. – Законодательная и прикладная метрология. – 2005. – № 4. – С.12-18.

47. Левин С.Ф. Обеспечение единства измерений при поверке средств измерений. – Измерительная техника. – 2005. – № 8. – С. 14-18.

48. Левин С.Ф. Обеспечение единства измерений при градуировке измерительных преобразователей. – Измерительная техника. – 2006. – № 7. – С. 8-14.

49. Левин С.Ф. Обеспечение единства измерений при испытаниях средств измерений. – Измерительная техника. – 2008. – № 10. – С. 13-17.

50. Левин С.Ф. Статистические методы и метрологическая аттестация программного обеспечения измерительных систем. – Измерительная техника. – 2008. – № 11. – С. 14-19.

51. Левин С.Ф. Математическая теория измерительных задач: Приложения. Решение измерительной задачи определения объемного расхода газа на основе аппроксимации «точной» модели. – Контрольно-измерительные приборы и системы. – 2008. – № 3, с. 24-28; № 4, с. 37.

52. Левин С.Ф. Метрологическая аттестация программного обеспечения методик решения измерительных задач: теория и практика. – СИСТЕМИ ОБРОБКИ İНФОРМАЦİÏ. – 2008. – Вып. 4(71). – С. 117-125.

53. Власов В.А. О воспроизводимости результатов поверки счетчиков-расходомеров воды. – Измерительная техника. – 2009. – № 9. – С. 46-48.

54. Власов В.А., Зыбин Е.М. Об оценке воспроизводимости результатов поверки счетчиков – расходомеров воды. – Измерительная техника. – 2010. – № 12. – С. 27-31.

55. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. Издание 2-е, доп. и исправленное. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1962. – 350 с.

56. Левин С.Ф. Идентификация распределений вероятностей. – Измерительная техника. – 2005. – № 2. – С. 3-9.

57. Левин С.Ф. Математическая теория измерительных задач. Ч. 1-10. – Контрольно-измеритель-ные приборы и системы. – 1999-2006.

58. Левин С.Ф. Теория измерительных задач идентификации. – Измерительная техника. – 2001. – № 7. – С. 8-17.

59. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика.– М.: Наука, 1986. – 535 с.

60. Scheffe H., Tukey J.W. Nonparametric estimation. I. Validation of order statistics. – Annals of Mathematical Statistic. – 1945. – V. 16. – P. 187-192.

61. Р 50.1.037-2002 Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. – М.: ИПК Изд-во стандартов, 2002.


Количество показов:пїЅ13765